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答案上变换怎么说，那是极坐标法吗，
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三丰精密设备
2024-04-08 广告
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(6) D : x^2+y^2 ≤ 2x, r^2 ≤ 2rcost, r ≤ 2cost ,
D 对称于 x 轴，关于 y 的奇函数 xyf(x^2+y^2) 积分为 0.
I = ∫∫<D>x[1+yf(x^2+y^2)]dxdy
= ∫∫<D>xdxdy + ∫∫<D>xyf(x^2+y^2)dxdy
= ∫<-π/2, π/2>dt ∫<0, 2acost> rcost rdr + 0
= (1/3)∫<-π/2, π/2>costdt[r^3]<0, 2acost>
= (8a^3/3)∫<-π/2, π/2>(cost)^4dt = (16a^3/3)∫<0, π/2>(cost)^4dt
= (4a^3/3)∫<0, π/2>(1+cos2t)^2dt
= (4a^3/3)∫<0, π/2>[3/2+2cos2t+(1/2)cos4t]dt
= (4a^3/3)(3/2)π/2 = πa^3
D 对称于 x 轴，关于 y 的奇函数 xyf(x^2+y^2) 积分为 0.
I = ∫∫<D>x[1+yf(x^2+y^2)]dxdy
= ∫∫<D>xdxdy + ∫∫<D>xyf(x^2+y^2)dxdy
= ∫<-π/2, π/2>dt ∫<0, 2acost> rcost rdr + 0
= (1/3)∫<-π/2, π/2>costdt[r^3]<0, 2acost>
= (8a^3/3)∫<-π/2, π/2>(cost)^4dt = (16a^3/3)∫<0, π/2>(cost)^4dt
= (4a^3/3)∫<0, π/2>(1+cos2t)^2dt
= (4a^3/3)∫<0, π/2>[3/2+2cos2t+(1/2)cos4t]dt
= (4a^3/3)(3/2)π/2 = πa^3
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这个题目不适合用极坐标做，太麻烦，正确的做法是二重积分的换元法：令u＝xy，y＝y/x，则区域D化作1≤u≤2，1≤v≤√3，需要计算的只是dxdy＝|A|dudv，A是雅可比行列式α(x,y)/α(u,v) 如果一定要用极坐标的话，θ的范围自然是两射线y＝x，y＝√3x的倾斜角对应的区间[π/4，π/3]，ρ的范围由xy＝1，xy＝2决定，化成极坐标方程就是了
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