Question

向量叉乘推导公式//为什么i*i=j*j=k*k？

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Answer 1

向量是线性代数中的基本知识，本文只会侧重它们在计算机图形学和旋转几何学中的要点。

向量的记号
向量（vector）常用粗体来表示，与标量相区分（不过我为了方便，仅在此处加粗体）。例如：

u=[23]
其中 2 和 3 都称为向量 u 的分量（component）。向量还可以分为列向量和行向量，列向量常常是推荐的表示方法。

向量的图示
向量作为一种代数元素，在计算机图形学中常用于表示空间中的有向线段和点。

如下图所示：

利用向量的表示，有向线段 u 可以通过 A 和 B 两点相减计算得到：

u=[34]−[11]=[23]
可以看到，对于有向线段 u 来说，它的向量表示保存了两条信息：方向和长度。而对于坐标点 A 和 B 来说，实际上也隐含了两条类似的信息：原点到坐标点的方向和原点到坐标点的距离长度。方向通过向量各分量的比例而确定，而长度则是通过向量大小（magnitude）确定。

向量大小
向量大小写作 |u|，对分量应用毕达哥拉斯定理（国内称勾股定理）计算得到：

|u|=x2+y2−−−−−−√
其中 x 和 y 表示 u 的两个分量。

推广到三维
前面考虑的是二维平面，如果推广到三维，则可以用向量表示出三维空间的点或有向线段：

u=⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥
其大小为：

|u|=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√
单位向量
前面说到，向量包含方向和大小的信息。那如果我们只关注方向信息呢？自然会想到把大小固定下来，进而引入了单位向量。

单位向量就是大小为 1 的向量，把普通向量转换为单位向量的过程称为规范化或标准化（normalization）。

向量的规范化很容易，将向量除以它的大小即可。

u^=u|u|
其中 u^ 是 u 所对应的单位向量。

笛卡尔向量
笛卡尔向量是特殊的单位向量，对应于笛卡尔坐标系中的 x/y/z 轴。即：

i=[1,0,0]T,j=[0,1,0]T,k=[0,0,1]T

向量乘法
有两种向量乘法的定义，一种是两个向量相乘得到一个标量，称为标量积，又称点乘、点积、数量积；另一种是两个向量相乘得到一个向量，称为向量积，又称叉乘、叉积、矢量积。

标量积
标量积通过两个向量相乘得到一个标量。标量积的几何定义为：

r⋅s=|r||s|cosβ

简单来说，就是向量 r 对 s 作投影，得到 rcosβ，再将投影的大小 |r|cosβ 和 s 向量的大小 |s| 相乘（可以交换，不管哪个向量对另一个向量作投影结果都是相同的）。

标量积的设计是有道理的。

一方面，标量积在一定程度衡量了两个向量方向的“相似性”。固定大小的两个向量，夹角越小，方向越接近，相似度越高。

另一方面，标量积既然得到的是一个标量，向量又是标量的一种推广，我们自然希望它和普通标量的乘法统一起来。

与标量不同的是，向量具有方向性。那么在设计标量积的时候，一些显然需要考虑的场景是：

当两个向量方向一致时，我们希望这个标量积就等于两个向量大小的乘积。
当两个向量方向相反时，我们希望这个标量积等于向量方向一致情况的相反数。
当两个向量相互垂直（正交）时，这两个向量其实是线性无关的，我们认为它们俩其实没啥交流语言（或者说相似性为 0），乘积为 0 最好。
利用以上特殊场景，当面对更普遍的情况时，对向量进行正交分解，不难得到 r⋅s=|r||s|cosβ 的定义。

当然，这只是定义而已，前面这些考虑都只是为了帮助理解这个定义的几何含义。

标量积还有它的代数定义：

r⋅s=rxsx+rysy+rzsz

即两个向量的各个分量分别相乘，再相加

Answer 2

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和电脑图形学中。
两个向量a和b的叉积写作a×b。
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。
希望我能帮助你解疑释惑。