Question

如图所示，求解一题微分方程

Answer 1

已知函数f(x)的一个原函数是xe^x，求微分方程 y'-(1/x)y=f(x)的通解。
解：因为f(x)的一个原函数是xe^x，∴ f(x)=(xe^x)'=e^x+xe^x=(1+x)e^x；
故微分方程为：y'-(1/x)y=(1+x)e^x;
下面解此方程。先求齐次方程 y'-(1/x)y=0的通解：
分离变量得： dy/y=dx/x；积分之得：lny=lnx+lnc₁=ln(c₁x)；
故齐次方程的通解为：y=c₁x；将c₁换成x的函数u，那么得：y=ux............①
对①取导数得：y'=u+u'x............②

将①②代入原方程得：u+u'x-u=(1+x)e^x；化简得：u'•x=(1+x)e^x；
即 du/dx=[(1+x)/x]e^x；∴ u=∫[(1+x)/x](e^x)dx=e^x+∫[(e^x)/x]dx(此积分不能表为初等
函数，但可把e^x展为麦克马林级数，然后再积分(略).
将u代入①式即得原方程的通解为：y=xe^x+x∫[(e^x)/x]dx；