Question

设函数f(x)在闭区间「0，1」上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=0,f(1)=1/3,

Answer 1

g(x)=f(x)-x^3/3
在[0,1/2]上对g(x)用
中值定理

g(1/2)-g(0)=g'(A)(1/2-0)=g(1/2)
在[1/2,1]上对g(x)用中值定理
g(1)-g(1/2)=g'(B)(1-1/2)=-g(1/2)
比较
g'(A)+G'(B)=0
移项
即可。

Answer 2

证明：
构造函数：
f(x)=(e^x)f(x)，
显然该函数在(0,1)上可导，[0,1]连续，且：
f(0)=f(0)=0
f(1)=e·f(1)=0
根据罗尔定理：
∃ξ∈(0,1)，使得：
f'(ξ)=0
即：
f'(ξ)=(e^ξ)[f(ξ)+f'(ξ)]=0
又∵
e^ξ
≠0
∴
f(ξ)+f'(ξ)=0
证毕！