Question

已知各项均为正数的数列{an}，，满足a1=3，且(2an+1-an)/(2an-an+1)=anan+1,求an的通项公式

多谢了！

Answer 1

有点多。。。过程你看吧

Answer 2

解：∵(2a[n+1]-a[n])/(2a[n]-a[n+1])=a[n]a[n+1],n∈N
∴2a[n+1]-a[n]=a[n]a[n+1](2a[n]-a[n+1])
∵{a[n]}是各项均为正数的数列
∴两边同除以a[n]a[n+1]，得：2/a[n]-1/a[n+1]=2a[n]-a[n+1]
即：a[n+1]-1/a[n+1]=2(a[n]-1/a[n])
∵a1=3
∴{a[n]-1/a[n]}是首项为a[1]-1/a[1]=8/3，公比为2的等比数列
即：a[n]-1/a[n]=8*2^(n-1)/3=2^(n+2)/3

∴a[n]^2-a[n]2^(n+2)/3-1=0
a[n]=2^(n+1)/3±√[2^(2n+2)/9+1]
∵[2^(n+1)/3]^2＜[2^(n+1)/3]^2+1=[2^(2n+2)/9+1]
又∵{a[n]}是各项均为正数的数列
∴a[n]=√[2^(2n+2)/9+1]+2^(n+1)/3