Question

求这个函数y＝xlnx

这个函数的10阶导数，和n阶导是多少？

Answer 1

解：
函数y=xlnx
y' = lnx + 1
y'' = x^(-1)
y''' =(-1)x^(-2)
……
y(10)= x^(-9)

则
y(n)= (-1)^(n) x^(-n+1) (n≧2)
当n=1时，y'=lnx + 1

Answer 2

y'=(xlnx)'=lnx +x(1/x)=1+lnx
y''=1/x
假设当n=k(k∈N*且k≥2)时，y(k)=(-1)ᵏ·(k-2)!/xᵏ⁻¹，则当n=k+1时，

y(k+1)=[(-1)ᵏ·(k-2)!/xᵏ⁻¹]'
=(-1)ᵏ·(k-2)!·[-(k-1)]/xᵏ
=(-1)ᵏ⁺¹·[(k+1)-2]!/xᵏ⁺¹⁻¹
k为任意不小于2的正整数，因此对于任意不小于2的正整数n
y(n)=(-1)ⁿ·(n-2)!/xⁿ⁻¹
y(10)=(-1)¹⁰·(10-2)!/x¹⁰⁻¹=40320/x⁹
函数的10阶导数为40320/x⁹
函数的n阶导数为：
1+lnx， (n=1)
(-1)ⁿ·(n-2)!/xⁿ⁻¹ ， (n≥2)