Question

一道高数证明题？

求解 最好有详细过程(✪▽✪)

Answer 1

∫(a→b)f(y)∫(y→b)g(x)dxdy

=∫(a→b)g(x)∫(a→x)f(y)dydx (交换积分顺序)
=∫(a→b)g(y)∫(a→y)f(x)dxdy

假设不存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)∫(ξ→b)g(x)dx=g(ξ)∫(a→ξ)f(x)dx
则对于任意的y∈(a,b)
f(y)∫(y→b)g(x)dx>g(y)∫(a→y)f(x)dx 或者
f(y)∫(y→b)g(x)dx<g(y)∫(a→y)f(x)dx
则
∫(a→b)f(y)∫(y→b)g(x)dxdy>∫(a→b)g(y)∫(a→y)f(x)dxdy或者
∫(a→b)f(y)∫(y→b)g(x)dxdy<∫(a→b)g(y)∫(a→y)f(x)dxdy
与等式矛盾
故
存在ξ∈(a,b)使得f(ξ)∫(ξ→b)g(x)dx=g(ξ)∫(a→ξ)f(x)dx