Question

求教一道高数题

请问第27题答案中划蓝线部分是怎么想到这种解法的？靠经验吗？

Answer 1

希望有所帮助

Answer 2

这是常规做法。
次数高的多项式除以次数小的多项式的函数（称为假分式），一定可以分解为多项式+真分式（分子次数小于分母次数）的形式。
对于真分式的不定积分，教材上很多的例题和习题。这里也用到了。
2x³+4x+1=2x*x²+4x+1＝2x(x²+x+1)-2x²+2x+1＝2x(x²+x+1)-2(x²+x+1)+4x+3。
所以，被积函数分解为2x-2+(4x+3)/(x²+x+1)，其中的(4x+3)/(x²+x+1)就是真分式，常规做法是先看分母的判别式，这里判别式小于0，所以分子的处理是：一部分是分母导数的倍数，另一部分是常数，这里(4x+3)/(x²+x+1)＝2(2x+1)/(x²+x+1)+1/(x²+x+1)，前者可直接凑微分，后者对分母配方，出现平方和的样子，套用积分公式∫1/(a²+x²)dx的结果。这都是常规做法。

Answer 3

(2x³+4x+1)/(x²+x+1)
=[(2x³+2x²+2x)+(-2x²-2x-2)+4x+3]/(x²+x+1)
=[2x(x²+x+1)-2(x²+x+1)+4x+3]/(x²+x+1)
=2x-2+(4x+3)/(x²+x+1)
根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式。

Answer 4