Question

在任意三角形中,求证(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 <= 9/4

Answer 1

（一）利用倍角公式cos2x=1-2(sinx)².===>(sinx)²=(1-cos2x)/2.可得M=(sinA)²+(sinB)²+(sinC)²=(3/2)-(cos2A+cos2B+cos2C)/2.(二）再利用A+B+C=π及和差化积cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]可得cos2A+cos2B+cos2C=2cos(A+B)cos(A-B)+cos2C=2cos(π-C)cos(A-B)+2(cosC)²-1=-2cosCcos(A-B)+2(cosC)²-1=2cosC[cosC-cos(A-B)]-1=-2cosC[cos(A+B)+cos(A-B)]-1=-4cosAcosBcosC-1.故原不等式的左边M=2+2cosAcosBcosC.(三）可设t=cosAcosBcosC.由积化和差cosxcosy=[cos(x+y)+cos(x-y)]/2可得2t=cosCcos(A-B)-(cosC)².===>(cosC)²-cos(A-B)cosC+2t=0.该式可看作是关于cosC的一元二次方程，⊿=[cos(A-B)]²-8t≥0.===>8t≤[cos(A-B)]²≤1.===>t≤1/8.等号仅当A=B时取得。即cosAcosBcosC≤1/8.===>M=2+2cosAcosBcosC≤9/4.即有(sinA)²+(sinB)²+(sinC)²≤9/4.

Answer 2

sin2a+sin2b=2sin[(2a+2b)/2]cos[(2a-2b)/2]=sin2c
=2sinccosc；
即：sin(a+b)cos(a-b)=sinccosc；
因为sin(a+b)=sinc；所以有cos(a-b)=cosc；即：a-b=c；则a=b+c,该三角形是直角三角形。
或a-b+180°=c（不合）

Answer 3

反证法