Question

三角换元求定积分，解题步骤看不懂？

初学微积分，对这个题的解题步骤完全看不懂，请给出每一步转化的详细步骤，得让我这个初学者能看懂。谢谢。

Answer 1

图1

图2

追答

不过，这题答案给得不好，有简单方法没有提供出来

用几何意义就足够看出π/2这个结果了↑

Answer 2

I = ∫<0, 2>√(2x-x^2)dx = ∫<0, 2>√(1-1+2x-x^2)dx = ∫<0, 2>√[1-(x-1)^2]dx
令 x-1 = sint， 则 dx = costdt， x = 0 时， t = -π/2; x = 2 时， t = π/2
I = ∫<-π/2, π/2>√[1-(sin)^2] cost dt, 是对称区间上的偶函数的定积分
= 2∫<0, π/2>√[(cos)^2] cost dt = ∫<0, π/2> 2(cost)^2 dt 降幂公式
= ∫<0, π/2> (1+cos2t) dt = [t+(1/2)sin2t]<0, π/2> = π/2

追问

dx = costdt是怎么来的？看不懂

追答

dx = d(1+sint) = cost dt

追问

不好意思，初学者，看不懂d(1+sint) = cost dt

追答

d(1+sint) = (1+sint)'dt = cost dt

追问

d(f(t))=f'(t)dt?请问，这是公式还是自己推导的？我怎么没见过？是哪部分的知识？谢谢。

不问了，我去补充基础知识，自学微积分真的好难。。。。