Question

高数第6题求解答，过程详细点？

Answer 1

（1）先求Z=3x^2+3y^2-x^3在D的内部{(x,y)|x^2+y^2<16}的极值
解方程组：Zx'=6x-3x^2=0；Zy'=6y=0
得：x=0或2，y=0
即(0,0)和(2,0)是驻点
因为Zxx''=6-6x，Zxy''=0，Zyy''=6

Zxx''(0,0)=6>0，Zxx''(2,0)=-6<0

驻点(0,0)的判别式：(Zxy''^2-Zxx''*Zyy'')|(0,0)=-36<0

驻点(2,0)的判别式：(Zxy''^2-Zxx''*Zyy'')|(2,0)=36>0
所以(0,0)是极小值点，(2,0)不是极值点
Z(0,0)=0
函数Z=3x^2+3y^2-x^3在D的内部的极小值为0

（2）再求Z=3x^2+3y^2-x^3在D的边界{(x,y)|x^2+y^2=16}的极值
作拉格朗日函数：L(x,y,t)=3x^2+3y^2-x^3-t(x^2+y^2-16)
解方程组：Lx'=6x-3x^2-2tx=0；Ly'=6y-2ty=0；Lt'=x^2+y^2-16=0

得：x1=0，y1=4，t1=3
x2=0，y2=-4，t2=3
x3=4，y3=0，t3=-3
x4=-4，y3=0，t4=9
即(0,4),(0,-4),(4,0)和(-4,0)是驻点
Z(0,4)=48，Z(0,-4)=48，Z(4,0)=-16，Z(-4,0)=112
因为连续函数Z在紧集{(x,y)|x^2+y^2=16}必有最大值和最小值
所以函数Z=3x^2+3y^2-x^3在D的边界的最小值为-16，最大值为112
（3）综上所述，函数Z=3x^2+3y^2-x^3在D上的最小值为-16