Question

一道积分计算题！

一道积分计算题！如图所示，答案已给出，请问最后一步划红线处的式子是怎么得出结果的呢？烦请计算解释，谢谢了！

Answer 1

就是把二重积分改为二次积分
∫f(x,y)dxdy=∫[∫f(x,y)dx]dy=∫dy∫f(x,y)dx
注意上下限，也就是xy的取值范围。（这里无法写上下限）

追问

嗯，我的疑问在于答案为什么等于-根号π/2呢

追答

就是计算出来的，你若会计算二次积分，代入上下限，计算后就是那个结果

追问

嗯，前面都懂，我的问题就是我算不出来负的根号π/2，，

追答

先把这个搞懂

再慢慢计算你的二重积分

Answer 2

其详细过程可以是，∫(-∞,y)xe^(-x²-y²)dx=[e^(-y²)]∫(-∞,y)xe^(-x²)dx=(-1/2)e^(-2y²)。同理，∫(-∞,y)ye^(-x²-y²)dy=(-1/2)e^(-2x²)。
∴原式=(-1/2)∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy-(1/2)∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx=-∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx①。
设I=∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy=∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx。∴I²=∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx。
再设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴I²=∫(0,2π)dθ∫(0,∞)ρe^(-2ρ²)dρ=π/2。
∴原式=-√(π/2)。
【另外，亦可借用正态分布的密度函数性质“巧”得前述①之结果。视①处的X~N(μ,δ)，则其密度函数f(x)=(1/A)e^[-(x-μ)/(2δ)]，其中A=δ√(2π)。由其性质，有∫(-∞,∞)f(x)dyx=1，∴∫(-∞,∞)e^[-(x-μ)/(2δ)]dx=A。令μ=0,2σ=1/2。∴∫(-∞,∞)e^(-2x)dx=√(π/2)】供参考。