Question

高数多元函数条件极值 此题的解题思路是怎样的呢？

求解 请问这种题的解题思路是怎么样的啊 这种也不好画图 步骤一不是已经出了最值点吗





Answer 1

答：多元函数和一元函数的极值求解方法是不一样的。f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0,仅仅是函数极值存在的必要条件，这一点和一元函数f'(x)=0是一样的；但是存在极值点的充分条件是不一样的；二元函数和一元函数都是看二阶导数；但是二元函数的充分条件要复杂一些。
在函数具有二阶连续的偏导数的条件下，设f''xx=A，f''xy=B。f''yy=C;
如果AC-B^2>0, 有极值存在，
AC-B^2<0, 没有极值；
AC-B^2=0，不确定，还需另做讨论。
因此，思路为求解可能存在的极值点。求驻点，求二阶偏导数，检验有无极值，如果只有一个极值点，一般说来就是最点。就不用考察边界了。
f'x=2xy(4-x-y)-x^2y=0, 令x,y≠0即8-3x-2y=0.....(1)
f'y=x^2(4-x-y)-x^2y=0, 即：4-x-2y=0....(2)
(1)-(2),得：4-2x=0; 解得：x=2， 代入(2),得：y=1；
f''xx=2y(4-x-y)-2xy-2xy=2y(4-x-y)-4xy=2*1*(4-2-1)-4*2*1=-6<0；
f''xy=2x(4-x-y)-2xy-x^2=2*2(4-2-1)-2*2-4=-6;
f''yy=-x^2-x^2=-2x^2=-8;
(-6)*(-8)-(-6)^2=12>0； 为极值点，因为f''xx<0, 为极大值。
f(2,1)=2^2*1(4-2-1)=4, 为函数的最大值。

Answer 2

极值在驻点，最值在极值、边界值中选。