Question

常微分方程

Answer 1

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，
先考虑他的齐次形式
我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成
x''+ax=0
借这个方程的时候
设x=exp(mt)
就可以得到
x'=m*exp(mt)
x''=(m^2)*exp(mt)
然后带回原方程就可以得到方程
m^2+a=0
然后你就可以得到
m1=+(-a)^(1/2)，m2=
-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，
如果你a小于零，
那么
-a
就大于零
，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是
yc=c1*
exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)
c1
c2
都是常数
如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。）
，a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2)
,m2=-1*a(1/2)
那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin
(a^(1/2))
b1
b2也都是常数
这个时候你再来考虑非齐次的形式
也就是
x''+ax=b
因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设
非齐次方程的特殊解为
yp=k0+
k1x然后yp‘=k1
yp''=0
代回原方程
就解出k1=0，k0=
b/a
然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp
即y=yc+yp
目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。