Question

求非齐次线性方程组的解

Answer 1

3元线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于0
而系数行列式
|A|
=
1
1
1
a
b
c
a^2
b^2
c^2
=(b-a)(c-a)(c-b).
所以a,b,c
两两不相等时方程组有唯一解.
设a,b,c
有两个相等
不妨设
a=b
方程组的增广矩阵
=
1
1
1
1
a
a
c
d
a^2
a^2
c^2
d^2
-->
r3-2r2,r2-2r1
1
1
1
1
0
0
c-a
d-a
0
0
c(c-a)
d(d-a)
若
c=a,
d≠a,
则方程组无解
若
c=a,
d=a,
则方程组有无穷多解
若
c≠a
方程组的增广矩阵
-->
1
1
1
1
0
0
1
(d-a)/(c-a)
0
0
c
d(d-a)/(c-a)
r3-cr2
1
1
1
1
0
0
1
(d-a)/(c-a)
0
0
0
(d-c)(d-a)/(c-a)
当
d=c或d=a
时,
有无穷多解
当
d≠c且d≠a
时,
方程组无解
综上有
(1)
a,b,c
两两不相等时方程组有唯一解
(2)
a,b,c
都相等且等于d时方程组有无穷多解
a,b,c
都相等但不等于d时方程组无解
(3)
a,b,c
两个相等,
d若等于a,b,c之一,
则有无穷多解;
否则无解.
看看与你的解答是否一致

Answer 2

非齐次线性方程组求通解

Answer 3

写出方程组的系数矩阵为
2
3
-1
-7
3
1
2
-7
4
1
-3
6
1
-2
5
-5
～
第1行减去第4行×2，第2行减去第4行×3，第3行减去第4行×4
0
7
-11
3
0
7
-13
8
0
9
-23
26
1
-2
5
-5
～
第1行减去第2行，第2行×9减去第3行×7
0
0
2
-5
0
0
44
-110
0
9
-23
26
1
-2
5
-5
～
第2行减去第1行×22，第3行加上第1行×7
0
0
2
-5
0
0
0
0
0
9
-9
-9
1
-2
5
-5
～
第1行除以2，第3行除以9，第4行加上第3行×2
0
0
1
-5/2
0
0
0
0
0
1
-1
-1
1
0
3
-7
～
第3行加上第1行，第4行减去第1行×3
0
0
1
-5/2
0
0
0
0
0
1
0
-7/2
1
0
0
1/2
调换各行后得到最简行阶梯矩阵
1
0
0
1/2
0
1
0
-7/2
0
0
1
-5/2
0
0
0
0
令x4=2a，那么分别得到x1=
-a，x2=7a，x3=5a，
所以此齐次线性方程组的解为，
(x1，x2，x3，x4)^t=a(-1，7，5，2)^t
其中a为常数