Question

什么是矩阵最大特征值？

Answer 1

对P的行用圆盘定理,
可以得到P的所有特征值的模<=1,
然而P*1
=
1(1是全1的列向量),
于是P有特征值1,
是为最大模特征值.
另由平稳分布的定义w
=
wP可知w正是P的对应于特征值1的(左)特征向量.
可证任何满足w
=
wP的w的各分量一定是同号的,
因为若w
=
wP,
则|w|
=
|w|P因为P>=0,
若w中有分量不同号,
于是至少有一个分量是正的,
对于这个分量w_j
=
|w_j|
=
\sum_i
|w_i|
P_{ij},
然而又有w_j
=
\sum_i
w_i
P_{ij},
因为P>=0,
于是逼得所有w分量都>=0.
下面是唯一性:
若有w1
=
w1*P,
及w2
=
w2*P.
如果w1和w2不共线,
必存在w3
=
a*w1
+
b*w2使得w3分量不同号,
而另一方面又有
w3
=
w3
*
P,
矛盾.
于是存在唯一w
=
wP且|w|_1
=
1,
即平稳分布.

Answer 2

n阶矩阵的特征值有n个，其中值最大的就是最大特征值

Answer 3

谱半径，特征值中的最大者。而特征值是由特征多项式算出来的。

Answer 4

方法度1：公式法方法2：常数变异法问解：先算出dy/dx=2y/x+1的通解为答y=c(x+1)^回2再设通解为y=c(x)(x+1)^2微分之答得到dy/dx=dc(x)/dx*(x+1)^2+c(x)*2(x+1)带入得到:dc(x)/dx=(x+1)^(1/2)积分之得到c(x)=2/3*(x+1)^(3/2)+c故通解为y=c(x)(x+1)^2

Answer 5

1.定义：若矩阵A乘上某个非零向量α等于一个实数λ乘上该向量，即Aα=λα，则称λ为该矩阵的特征值，α为属于特征值λ的一个特征向量。
2.求矩阵A的特征值及特征向量的步骤：
（1）写出行列式|λE-A|；
（2）|λE-A|求＝0的全部根，它们就是A的全部特征值，其中E为单位矩阵；
（3）对于矩阵A的每一个特征值λ，求出齐次线性方程组(λE-A)X=0的一个基础解系，则可以得到属于特征值λ的特征向量。
3.特征值的作用和意义体现在用矩阵进行列向量的高次变换也就是矩阵的高次方乘以列向量的计算中。数学中的很多变换可以用矩阵的乘法来表示，在这样的变换中，一个列向量（点）α变成另一个列向量（点）β的过程可以看成是一个矩阵A乘以α得到β，即Aα=β，如果把同样的变换连续的重复的做n次则需要用矩阵高次方来计算：A^n·α，如果没有特征值和特征向量，此处就要计算矩阵A的n次方，这个运算量随着n的增加，变得越来越大，很不方便。而利用特征值和特征向量，可以达到简化计算的目的：设A特征值分别为λ1,λ2,------λk，对应的特征向量分别为α1,α2,------αk，且α可以分解为α=x1·α1+x2·α2+---+xk·αk，
则A^n·α=A^n·（x1·α1+x2·α2+---+xk·αk）
=A^n·x1·α1+A^n·x2·α2+---+A^n·xk·αk
=x1A^n·α1+x2A^n·α2+---+xkA^n·αk
=x1(λ1)^n·α1+x2(λ2)^n·α2+---+xk(λk)^n·αk.
这样就将矩阵的n次方的运算变成了特征值的n次方的运算。