Question

如图：AB⊥BC，CD⊥BC，P是BC上不与B、C重合的一点，AB=4，CD=6，BC=10

Answer 1

设△APB∽△PDC，则AB/PC=BP/CD，即AB/（BC-BP）=BP/CD；
∵AB=4，CD=6，BC=10
∴4/10-BP=BP/6
∴24=10BP-BP²
即BP²-10BP+24=0，
因式分解：（BP-4）（BP-6）=0；
当BP=4时，△APB为等腰直角△，∠BPA=45°，PC=10-4=6
△PCD也为等腰直角△，∠CPD=45°，

则AP⊥PD，即（1）题，AP²=AB²+BP²=4²+4²=32，AP=4√2；
当BP=6时，AP²=AB²+BP²=4²+6²=52，AP=2√13
.
∴（2）题有两解。

Answer 2

（1）连接AD，上平移BC过点A，交DC于M；所以BC=AM；设BP=x；则PF=10-x；所以AP的平方=16+x的平方；DP的平方=（10-x）的平方+36；AD的平方=AP的平方+DP的平方=BC的平方+（6-4）的平方=104；求出x=6；所以当AP⊥PD时，AP=根号下52（未化简）；（2）△ABP与△PCD相似，同样设BP为x，则PC为10-x；那么AB/PC=BP/CD；带入得4/X=(10-X)/6；所以x=6

Answer 3

因为AB⊥BC，CD⊥BC
所以∠A+∠APB=∠D+∠DPC=90°
又AP⊥PD
则∠APB+∠DPC=90°
=>
∠A=∠DPC
=>△ABP相似△PDC
所以AB/PC=BP/CD
=>4/PC=(10-PC)/6
=>PC=4或PC=6
=>BP=4或6
则AP分别为4根号2或2根号13

Answer 4

(1)作辅助线，延长DP交AB于E点
因角APD是直角，所以角A加角E等于90度，又因为角BAP加角BPA等于角EBP等于90,角E加角BPE等于角ABP等于90，所以三角形PAE是等腰三角形，AP的平方等于AB乘以AE