Question

高等数学三重积分问题

Answer 1

二重积copy分是计算曲边多面体体积，当被积函数=1
时，在数值上等于积分区域面积。
同理，知定积分计算曲边梯形面积，当被积函数=1
时，在数值上等于积分区间长度。
因此道，当被积函数=1
时，三重积分在数值上等于积分区域的体积。

Answer 2

本例题都是用截面法求体积。
V1
是球体的一部分，
x^2+y^2+z^2
=
4az,
化为柱坐标为
r^2
=
4az-z^2,
每个截面是圆，面积为
πr^2,
即
π(4az-z^2)；
V2
由旋转抛物面与平面围成的立体，
x^2+y^2+az
=
4a^4,
化为柱坐标为
r^2
=
4a^2-az,
每个截面是圆，面积为
πr^2,
即
π(4a^2-az).
固有如题的积分。
本题用二重积分也可以做，但用三重积分截面法简单，实质上就是一元定积分。