Question

设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（a+b2）

Answer 1

证明：?x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x?t)+
f″(ξ)
2!
(x?t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
a+b
2
，则有
f(x)≤f(
a+b
2
)+f′(
a+b
2
)(x?
a+b
2
)．
将不等式两边从a到b积分可得，
∫
b
a
f(x)dx≤
∫
b
a
f(
a+b
2
)dx+
∫
b
a
f′(
a+b
2
)(x?
a+b
2
)dx
=(b?a)f(
a+b
2
)+f′(
a+b
2
)[
1
2
(x?
a+b
2
)2]
|
b
a
=(b?a)f(
a+b
2
)．

Answer 2

证明：将f（x）进行泰勒展开，得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x?t)+
1
2
f″(ξ)(x?t)2，其中ξ在x到t之间
由于f″（x）≤0，因此
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）
∴上式两边对t积分，得
f(x)(b?a)≤
∫
b
a
f(t)dt+
∫
b
a
f′(t)(x?t)dt=2
∫
b
a
f(t)dt+(x?b)f(b)?(x?a)f(a)
又由于x-b≤0，x-a≥0，f（x）≥0
∴f(x)(b?a)≤2
∫
b
a
f(t)dt＝2
∫
b
a
f(x)dx
即f（x）≤
2
b?a
∫
b
a
f(x)dx，x∈[a，b]．