Question

已知a＞b＞c 求证： (a-c)∧2+1÷((b-c)(a-b))≥4

Answer 1

设
a-b
=
x，b-c
=
y，则
a-c
=
x+y，其中
x,y
均为正实数。
此时不等式化为
(x+y)²+1/(xy)
≥
4.
容易看出
(x+y)²
≥
4xy，所以
(x+y)²+1/(xy)
≥
4xy+1/(xy)
≥
2根号[(4xy)*1/(xy)]
=
4.
等号成立当且仅当
x
=
y
且
4xy
=
1/(xy)，即
x
=
y
=
根号2/2，即
a-b
=
b-c
=
根号2/2
时等号成立。