Question

已知函数,,当时,不等式恒成立,则整数的最大值为_________.

已知函数,,当时,不等式恒成立,则整数的最大值为_________.

Answer 1

恒成立,等价于对一切恒成立,分离参数,从而可转化为求函数的最小值问题,利用导数即可求得,即可求实数的取值范围.
解:因为当时,不等式恒成立,
即对一切恒成立,
亦即对一切恒成立,
所以不等式转化为对任意恒成立.
设,则,
令,则
所以在上单调递增.
因为,,
所以在上存在唯一实根,且满足,
当时,,即;
当时,,即.
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
又,所以.
所以,
所以
故整数的最大值是.
故答案为:
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.