Question

两道我没理清头绪的数学题，需详细讲解

1、如图，在RT三角形ABC里，角c=90度，BC=1,AC=2,把边长分别为X1,X2,X3……Xn个正方形依次放入三角形ABC中，请回答下列问题 （1）按要求填表（在下面，那个n，x，1，2，3的） （2）第n个正方形的边长Xn=（） （3）若m，n，p，q是正整数，且Xm乘Xn=Xp乘Xq，试判断m，n，p，q的关系. 2、在三角形ABC和三角形DEF中，角A=角D=90度，AB=DE=3,AC=2DF=4.能否分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线，使三角形ABC分割成两个三角形与三角形DEF分割的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。

Answer 1

1解利用相似三角形原理设第一个正方形的边长为x则x/AC=（BC-x）/BC即x/2=（1-x）得x=2/3即x1=2/3解x2时继续用相似三角形原理设第一个正方形的边长为y则y/AC=（x1-y）/BC即y/2=（2/3-x）得y=4/9即x2=4/9同理解得x3=8/27可以归纳出第n个正方形的边长Xn/2=（Xn-1-Xn）即Xn/Xn-1=2/3为等比数列x1=2/3所以Xn=（2/3）n(n在幂指数的位置)Xm*Xn=Xp*Xq即（2/3）m*（2/3）n=（2/3）p*（2/3）q有m+n=p+qm，n，p，q的关系为m+n=p+q2解利用两角相等进行相似过A点做辅助线AM使得∠MAC=∠E过D点做辅助线DN使得∠NDF=∠B∵∠BAM+∠MAC=90∠E+∠F=90∴∠BAM=∠F利用两角相等相似∴△BAM相似于△NDF同理△MAC相似于△END这种问题可以扩展到任意两个直角三角形给出的边长没有。</a>