Question

有限群阶大于二的元素的个数必为偶数

Answer 1

设元素a的阶为2，则a^2＝e，所以a＝a^(-1)，即a与a的逆元相等.
反过来，如果a＝a^(-1)，则a^2＝e.
所以a^2＝e当且仅当a＝a^(-1)
所以，G中阶大于2的元素a，必有a≠a^(-1).
又a与a^(-1)的阶相等，所以G中阶大于2的元素一定成对出现，其个数必是偶数

Answer 2

基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理：如果群g是交换的，并且阶为p*q（p，q为素数），那么g一定是循环群。
证明一般用的是柯西定理或者希洛定理。以下证明用到柯西定理。
柯西定理：若g是一个有限群且p是一个可整除g的阶（g的元素数目）的质数，则g会有一个p阶的元素。
在本题中15=3*5，所以群中一定有一个三阶的元素a和一个5阶的元素b。那么c=a*b一定是一个15阶的元素。由此可证该群一定是由c生成的循环群。
楼主如果对细节还有问题的话，可以给我留言。