Question

已知圆C的圆心在直线y=-2x上，并且经过点A（2,-1），与直线x+y=1相切。

Answer 1

点
A(2,-1)
在已知直线
x+y=1，圆C
过
A
且与该已知直线相切，那么
A
就是切点；
过
A
作已知直线的垂线，则圆C在此直线上：y+1=x-2；
两直线方程联立解得圆心C
坐标
x=1，y=-2；圆半径
R²=AC²=(2-1)²+(-1+2)²=2；
圆C
的方程：(x-1)²+(y+2)²=2；
设
P(x,y)
在圆
C
上，则
f(x,y)=|PB|²+|PE|²+|PF|²=(x+1)²+(y+1)²+(x-1)²+(y-1)²+x²+(y-6)²；
整理
f(x,y)=3(x-1)²+6x+3(y+2)²-24y+25=6x-24y+31；
当直线
f(x,y)=m
（斜率
k=1/4）与圆
C
相切时，可得到
f(x,y)
的最大和最小值；
对圆
C
两边求导：2(x-1)+2(y+2)*y'=0，∴
切点
y'=(1-x)/(y+2)=1/4，代入圆C方程可解得：
(x-1)²+[4(1-x)]²=2，x=1±√(2/17)，y=-2+4(1-x)=-2-[±4√(2/17)]；
f(x,y)=6x-24y+31=6*[1±√(2/17)]-24*[-2-±4√(2/17)]+31=85±102√(2/17)=85±6√34；

Answer 2

a在圆上，但不一定是切点
所以不一定在y=x+b上
而是圆心在y=x+b上
又在y=-2x上
所以圆心(-b/3,2b/3)
圆心到x+y=1距离等于圆心到a的距离，都是半径
代入求出b，即圆心
然后求出半径即可