Question

求方程xy²+y=sinx满足初始条件y(π)=1的特解

Answer 1

显然，齐次方程y'+y/x=0的通解是y=C/x
(C是积分常数)
于是，根据常数变易法，设原方程的解为y=C(x)/x
(C(x)是关于x的函数)
∵y'=[C'(x)x-C(x)]/x²
代入原方程，得[C'(x)x-C(x)]/x²+C(x)/x²=sinx/x
==>C'(x)=sinx
==>C(x)=C-cosx
(C是积分常数)
∴原方程的通解是y=(C-cosx)/x
(C是积分常数)
∵y(π)=1
∴(C+1)/π=1
==>C=π-1
故原方程满足初始条件y(π)=1的特解是y=(π-1-cosx)/x。

Answer 2

解：（常数变易法）
先解齐次方程y'+y/x=0的通解，
∵y'+y/x=0
==>dy/y=-dx/x
==>ln│y│=-ln│x│+ln│c│
(c是积分常数)
==>y=c/x
∴齐次方程的通解是y=c/x。
于是，设原方程的通解为y=c(x)/x
(c(x)是关于x的函数)
代入原方程得c'(x)/x=sinx
==>c'(x)=xsinx
∴c(x)=∫xsinxdx
=-xcosx+∫cosxdx
(应用分部积分法)
=-xcosx+sinx+c
(c是积分常数)
∴y=(-xcosx+sinx+c)/x
=-cosx+sinx/x+c/x
∵当x=π时，y=1
代入得
1=1+c/π
==>c=0
∴y=-cosx+sinx/x
故微分方程满足初始条件的特解是y=-cosx+sinx/x。