Question

圆切线定理是什么？怎么证明？

Answer 1

证切线有三种办法
①与圆只有一个交点的直线（不太常用）
②有已知交点，连半径，证垂直（根据切线判定定理）
③无已知交点，作垂直，证半径（根据直线与圆的位置关系，d=r)
第一题
已知交点d，所以想到连半径
所以只要证明od⊥de即可
因为od=ob，所以∠odb=∠b
因为ac=ab，所以∠c=∠b
所以∠odb=∠c
所以od‖ac
因为de⊥ac，所以∠dec=90°
根据内错角相等
∠eod=∠dec=90°
所以od⊥ed
所以de是圆o的切线
第二题
已知交点c，所以连接oc，然后证垂直
此题一步全等即可证明oc⊥pc
连接od、oc
则od=oc
在△pod和△poc中
od=oc
op=op
pd=pc
所以△pod≌△poc（sss）
∠c=∠d
因为pd是切线，
所以od⊥pd
所以∠d=90°
则∠c=∠d=90°
所以oc⊥pc
所以pc是圆o的切线

Answer 2

切线的判定和性质
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l
⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l
⊥OA（切线性质定理）
推论1
经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠ACM所对的是
，
=
∴∠BCN=∠ACM
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相...切线的判定和性质
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵l
⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l
⊥OA（切线性质定理）
推论1
经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是
，∠ACM所对的是
，
=
∴∠BCN=∠ACM
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4．弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中
均不是弦切角．
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。