Question

在三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+tanA/tanB=2c/b

在三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+tanA/tanB=2c/b
若向量m=（0，-1），n=（cosB，2cos∧2C/2），试求|m+n|的最小值

Answer 1

|m+n|取最小值√2.
由1+tanA/tanB=2c/b得,
tanB+tanA=2tanB*c/b,由正弦定理得c/b=sinC/sinB,故得
tanB+tanA=2tanB*sinC/sinB=2sinC/cosB
即tanB+tanA=2sinC/cosB
sinB*cosA+sinA*cosB=2sinC*cosA
sin(A+B)=2sinC*cosA,
sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=2sinC*cosA,sinC=2sinC*cosA,
由sinC不等于零,故得cosA=1/2,A=30,
m+n=(cosB,-1+2(cosC/2)^2)=(cosB,-cosC),B+C=150,C=150-B,
|m+n|^2=(cosB)^2+(cosC)^2=(cosB)^2+(cos(150-B))^2
=2+cos2B+cos(300-2B)=2+cos2B+cos300cos2B+sin300sin2B
=2+cos2B+(1/2)cos2B-(√3/2)sin2B=2+(3cos2B-√3sin2B)/2
=2+√3sin(D-2B),其中tanD=3/(2√3),
当D-2B=0时,|m+n|^2取得最小值2,即|m+n|取得最小值√2,当D-2B=90时,|m+n|^2取得最大值2+√3,即|m+n|取得最大值√(2+√3).

Answer 2

1+tanA/tanB

=1+(sinAcosB)/(cosAsinB)

=(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAsinB)

=sin(A+B)/(cosAsinB)

=sinC/(cosAsinB)

再由正弦定理：sinC/sinB = c/b，所以 1/cosA = 2，从而 cosA = 1/2，A = 60°.

(2)先计算 |m+n|² 的最小值，然后开方即可。

利用倍角公式， m+n = (cosB，2cos²(C/2)-1) = (cosB，cosC)，所以

|m+n|²

=cos²B+cos²C

=(1+cos2B)/2+(1+cos2C)/2

=1+(cos2B+cos2C)/2 (利用和差化积公式)

=1+cos(B+C)cos(B-C)

=1-(1/2)cos(B-C)

所以若要 |m+n|² 取最小值，只要 cos(B-C) 取最大值，即 B = C = 60° 时取到。

此时 |m+n|² = 1/2，所以 |m+n| = 根号2/2.

Answer 3

由1+tanA/tanB=2c/b得,
tanB+tanA=2tanB*c/b,由正弦定理得c/b=sinC/sinB,故得
tanB+tanA=2tanB*sinC/sinB=2sinC/cosB
即tanB+tanA=2sinC/cosB
sinB*cosA+sinA*cosB=2sinC*cosA
sin(A+B)=2sinC*cosA,，因为sin（A+B）=sinC
（0度＜A＜180度）
所以A=60度
（2）|m+n|=根号下(cosB)^2+(cosC)^2 ≥ 根号下2cosBcosC （不等式）
所以(cosB)^2=(cosC)^2时有最小值
所以B=C=60度时|m+n|有最小值
最小值为√2/2

Answer 4

|m+n|取最小值√2.
由1+tanA/tanB=2c/b得,
tanB+tanA=2tanB*c/b,由正弦定理得c/b=sinC/sinB,故得
tanB+tanA=2tanB*sinC/sinB=2sinC/cosB
即tanB+tanA=2sinC/cosB
sinB*cosA+sinA*cosB=2sinC*cosA
sin(A+B)=2sinC*cosA,
sinC=sin(180-A-B)=sin(A+B)=2sinC*cosA,sinC=2sinC*cosA,
由sinC不等于零,故得cosA=1/2,A=60