求y=1/x，y=x，x=2所围成图形的面积
S = 3/2 - ln2，V= 11π/6。
解答过程如下：
y = 1/x与交于A(1,1)，与x = 2交于(2,1/2)
积分区间为[1,2]，此时y =x在y = 1/x上方
S = ∫₁²(x - 1/x)dx = (x²/2 - lnx)|₁² = (2 - ln2) - (1/2 - 0) = 3/2 - ln2
V = ∫₁²π(x² - 1/x²)dx = π(x³/3 + 1/x)|₁² = π(8/3 + 1/2) - π(1/3 + 1) = 11π/6
两种曲线积分的区别
主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。
y = 1/x与交于A(1,1)，与x = 2交于(2,1/2)
积分区间为[1,2]，此时y =x在y = 1/x上方
S = ∫₁²(x - 1/x)dx = (x²/2 - lnx)|₁² = (2 - ln2) - (1/2 - 0) = 3/2 - ln2
V = ∫₁²π(x² - 1/x²)dx = π(x³/3 + 1/x)|₁² = π(8/3 + 1/2) - π(1/3 + 1) = 11π/6
扩展资料：
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。
如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。
参考资料来源：百度百科-积分
然后就是求函数y=x-1/x在区间【1、2】之间的积分了，原函数为y=x^2/2-lnx
答案为:3/2-ln2
S=积分（1--2）（x-1/x）dx
=（1/2x^2-lnx）l（x从1到2）
=（1/2*4-ln2）-（1/2-0）
=2-ln2-1/2
=3/2-ln2
