Question

已知函数f(x)=alnx-1/x,a∈R

Answer 1

解：
1)
函数f(x)=x^2
alnx的定义域是（0，
∞），
因为a=-2
所以f(x)=x^2-2lnx
f′(x)=2x-2/x。
令f′(x)=0，得x=1.
所以当0<x<1时，有f′(x)=2x-2/x<0,
故函数f(x)是在区间（0，1）上递减。
2)
g(x)=f(x)
(2/x)=x^2
alnx
(2/x)
所以：g'(x)=2x
(a/x)-(2/x^2)=(2x^3
ax-2)/x^2
因为x∈[1,
∞)，所以：x^2＞0
则，令h(x)=2x^3
ax-2
要满足g(x)在[1,
∞)上是单调增函数，则g'(x)在该区间上大于零，
即函数h(x)在该区间上的最小值大于零.
h'(x)=6x^2
a
，h''(x)=12x＞0
所以，h'(x)为单调增函数
所以，h'(x)在[1,
∞)上的最小值为h'(1)=6
a
所以，6
a＞0
则a＞-6