Question

点F1,F2是双曲线x^2-y^2/3=1的焦点，三角形PF1F2的内切圆半径的范围

Answer 1

实半轴a=1,虚半轴b=√3，半焦距c=√(1+3)=2.
设内切圆与PF1，PF2，F1F2的切点分别为G，H，K。内切圆圆心为Q。
假设P在左支上。【根据对称性，在右支上的情况与之相同】。
则(PF1+PF2)-F1F2=2GP。
根据双曲线的定义，PF2-PF1=2a
→PF2=PF1+2a
所以(2PF1+2a)-F1F2=2GP
→2(PF1-GP)=F1F2-2a
→PF1-GP=c-a
→F1G=c-a=1。
而对于内切圆，F1G=F1K，故
F1K=1
也就是说，K点是固定的，
KO=c-F1K=2-1=1
【O为原点】
即K坐标
(-1，0)
QK垂直x轴，则Q点在直线x=
-1上。
QK=r，为内切圆半径
而r=F1K·tan∠QF1K=1·tan∠QF1K
=
tan∠QF1K，
∠QF1K是∠PF1K的半角，
所以只要确定∠PF1K的范围就能确定内切圆半径r的范围。
显然，∠PF1K≥0，且不会超过渐近线y=
-√3x
的倾斜角。
y=
-√3x
的倾斜角为
2π/3，
则∠QF1K＜π/3。
则
r≤tan(π/3)=√3。
则三角形PF1F2的内切圆半径的范围是
0≤r＜√3

Answer 2

凡是双曲线的焦点三角形的内切圆与f1f2的切点坐标都是（±a,0）（焦点在x轴上），或（0，±a）（焦点在y轴上）;
连接圆心与切点mt(m为圆心，t为切点);
另外的切点为s,r;
mt⊥y轴；
不妨设p在上支上；f1为上焦点；s，r分别在pf1，pf2上
pf2-pf1=2a;
(pr+rf2)-(ps+sf1)=2a;
ps=pr
;
sf1=tf1;
tf2=rf2;
所以
rf2-sf1=2a;
又
rf2+sf1=tf2+tf1=f1f2=2c;
所以
tf1=sf1=c-a;
所以
t(0,a);
同理当p位于下支时；t(0,-a);
答案为
（0，±4）；

Answer 3

解
[[1]]
双曲线:
x²-(y²/3)=1.
a²=1,
b²=3,
c²=4.
∴F1(-2,
0),
F2(2,
0)
由对称性,不妨设动点P在第一象限.
P(X,
Y),
x,y＞0.
该三角形面积S=2y=(2√3)√(x²-1)
.
周长C=6+2|PF2|=4(x+1)
∴内切圆半径R=(2S)/C=(√3)×√{1-[2/(x+1)]}.
x＞1
∴0＜R＜√3

Answer 4

说明2012-6-3
07:23
zqs626290
|
中:
周长C=6+2|PF2的由来:
因为定义有PF1=PF2+2a
,代人周长C=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2|PF2|+2a+2c=2|PF2|+6
,再用两点间距离公式和x²-(y²/3)=1.消去y
得
周长C=6+2|PF2|=4(x+1)
又S=2y=(2√3)√(x²-1)代人S=RC/2
即代人
R=(2S)/C中
懂了吧
,