Question

已知数列{an}的前n项和为Sn.且a1=2,2Sn=(n＋1)an(n属于N).求数列{an}的通项an?

Answer 1

1.因为A[n
1]=2Sn
==>A2=2S1=2
因为A[n
1]=2Sn
则有An=2S[n-1]
(n≥2)
两式相减可得A[n
1]-An=2(Sn-S[n-1])
(n≥2)
所以A[n
1]-An=2An
(n≥2)
==>A[n
1]=3An
(n≥2)
该数列从第二项开始是一个等比数列
则An=2×3^(n-2)
(n≥2)
所以An=1,n=1
An=2×3^(n-2)
(n≥2)
2.当n=1时
Tn=nAn=1×1=1
当n≥2时
Tn=1
2×2×1
3×2×3
4×2×3²
.....
(n-1)×2×3^(n-3)
n×2×3^(n-2)
=1
2×[2×1
3×3
4×3²
5×3³
...
(n-1)×3^(n-3)
n×3^(n-2)]
令Pn=2×1
3×3
4×3²
5×3³
...
(n-1)×3^(n-3)
n×3^(n-2)
n≥2
所以3Pn=2×3
3×3²
4×3³
5×3^4
...
(n-1)×3^(n-2)
n×3^(n-1)
所以3Pn-Pn=n×3^(n-1)
(2-3)×3
(3-4)×3²
(4-5)×3³
.....
[(n-1)-n]×3^(n-2)-2
所以2Pn=n×3^(n-1)-[3
3²
3³
...
3^(n-2)]-2
所以Pn=[(2n-1)×3^(n-1)-1]/4
所以Tn=1
2Pn=1
2×[(2n-1)×3^(n-1)-1]/4=[(2n-1)×3^(n-1)
1]/2
所以Tn=[(2n-1)×3^(n-1)
1]/2