Question

求内接于半径为R的半圆而周长最大的矩形的各边边长.

Answer 1

错了.设距形一边是x,另一边是y;(x,y>0).由勾股定理得:x^2+y^2=4R^2;求周长2(x+y)最大值,即取(x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy=4R^2+2xy最大,即取xy最大.也就是要求出圆内接距形最大面积.我们很容易知道圆内接正方形面积最大.(自己证明一下吧.)

Answer 2

设矩形的长、宽分别是x、y。
因为要是圆的内接矩形，所以矩形的对角线必过圆心，
所以(2r)^2=a^2+b^2
由柯西不等式：
(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2
（当且仅当a=b时，等号成立）
得：
周长c=2(a+b)≤8r^2
（当且仅当a=b时，等号成立）
矩形的周长最大时，a=b，矩形就是正方形，
所以正方形边长为√2r