Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=50°,CD⊥AB,M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH的延长线交AC的延长线于E

Answer 1

1.
因为
∠ACB
=
∠CDB
=
90
所以
∠A
=
90-∠ACD
=
(∠ACD+∠DCB)-∠ACD
=
∠DCB
即
∠A
=
∠DCB
(1)
又因为
BM⊥DH，所以
∠CBM
+
∠BKH
=
90.
另一方面，∠E
+
∠EKC
=
90，而
∠EKC
与
∠BKH
是对顶角，它们相等，所以必有
∠CBM
=
∠E
(2)
综合(1)(2)两条，△AED
与
△CBM
中有两组角对应相等，所以
△AED∽△CBM.
2.
由1题，
△AED∽△CBM，所以
AE/BC
=
AD/CM，即
AE*CM
=
BC*AD.
因此只要证明
AC*CD
=
BC*AD，即
AC/BC
=
AD/CD
(3)
因为
△ADC
与
△ACB
均为直角三角形，且
∠A=∠A，所以
△ADC∽△ACB，因此由对应边成比例：
AD/CD
=
AC/BC，即(3)式成立，因此
AE*CM
=
AC*CD.