Question

已知a,b,c为实数，且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一个大于3/2。

Answer 1

由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,又：bc=1/a;
于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数，
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
这也就证明了a,b,c中必有一个大于等于1.5

Answer 2

如果
a,b,c
都
≤
3/2
由于
a+b+c=0
所以
三者必有一个
<
0
由于
abc=1
所以
三者中有两个
<0
不妨设
a,b
<
0
0
2/3
所以
(-a)
+
(-b)
>
2√(-a)(-b)
>
2*
√6/3
即
a+b
<
-2*
√6/3
9
-
√96
所以
a
+
b
+
c
<
-2*丹绩草啃禺救碴寻厂默
√6/3
+
3/2
=
--------------
<0
6
与
a+b+c
=0矛盾
所以假设不成立
故a,b,c三数中必有一个大于3/2
证毕！
GOOD
LUCK~
【中学数理化解答团】