Question

设函数f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[-1,0)时，f(x)=2ax+1/x^2(a∈R)

Answer 1

解：（1）设-x∈[-1,0)，则x∈(0,1]，所以f(-x)=-2ax+1/x^2(a∈R)

因为f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数，所以当x∈(0,1]时，f(-x)=-f(x)=-2ax+1/x^2(a∈R)

所以f(x)=2ax-1/x^2(a∈R)

（2）设0<x1<x2<1,则f(x1）-f(x2）=2ax1+1/x1^2-(2ax2+1/x2^2)=2a(x1-x2)+(1/x1^2-1/x2^2)=2a(x1-x2)+((x2+x1)(x2-x1)/(x1^2*x2^2))=(2a*x1^2*x2^2x1x2-x1x2)(x1-x2)/(x1^2*x2^2)

因为(2a*x1^2*x2^2x1x2-x1x2)>0,(x1-x2)<0,(x1^2*x2^2)>0,所以f(x1）-f(x2）<0,即f(x1）<(x2）

所以f(x)在(0,1]单调递增