Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1-2an=2的n次方,求an？

Answer 1

解：
n≥2时，
an=3ⁿ+2a(n-1)
等式两边同除以2ⁿ
an/2ⁿ=(3/2)ⁿ
+a(n-1)/2^(n-1)
an/2ⁿ
-a(n-1)/2^(n-1)=(3/2)ⁿ
a(n-1)/2^(n-1)
-a(n-2)/2^(n-2)=(3/2)^(n-1)
…………
a2/2²-a1/2=(3/2)²
累加
an/2ⁿ-
a1/2=(3/2)²+(3/2)³+...+(3/2)ⁿ
an/2ⁿ=a1/2
+(3/2)²+(3/2)³+...+(3/2)ⁿ
=1/2+(3/2)²+(3/2)³+...+(3/2)ⁿ
=(3/2)+(3/2)²+(3/2)³+...+(3/2)ⁿ
-1
=(3/2)×[(3/2)ⁿ-1]/(3/2-1)
-1
=3^(n+1)/2ⁿ
-4
an=3^(n+1)
-4×2ⁿ=3^(n+1)-2^(n+2)
n=1时，a1=3²-2³=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=3^(n+1)
-2^(n+2)

Answer 2

等式两边同时除以2^(n+1)
得到an+1/2^(n+1)-an/2^n=1/2
所以an/2^n
是一个等差数列，由等差数列公式知：
an/2^n=a1/2+(n-1)*1/2
因为a1=1
所以求得an/2^n=n/2
所以有an=n*2^(n-1)

Answer 3

解：
不知你学过等差、等比数列没？这里用递推的方法求解！
因为：
a(n+1)=2an+2^n
所以：
an=2a(n-1)+2^(n-1)
=2[2a(n-2)+2^(n-2)]+2^(n-1)
=2²a(n-2)+2^(n-1)+2^(n-1)
=2²a(n-2)+2*2^(n-1)
=2²[2a(n-3)+2^(n-3)]+2*2^(n-1)
=2³a(n-3)+2^(n-1)+2*2^(n-1)
=2³a(n-3)+3*2^(n-1)
=........
=[2^(n-1)]a1+(n-1)*2^(n-1)
=n*2^(n-1)

Answer 4

解：
a(n+1)-2an=2ⁿ
等式两边同除以2^(n+1)
a(n+1)/2^(n+1)
-an/2ⁿ=1/2，为定值。
a1/2=1/2
数列{an/2ⁿ}是以1/2为首项，1/2为公差的等差数列。
an/2ⁿ=1/2
+(1/2)(n-1)=n/2
an=(n/2)×2ⁿ=n×2^(n-1)
n=1时，a1=1×1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=n×2^(n-1)。