Question

已知abc=1求证:1/(a*a*(b+c))+1/(b*b*(a+c))+1/(c*c*(a+b))>=3/2

用柯西不等式做~有高手请作出解答(其中a,b,c均为正实数)

Answer 1

嗯，楼上的的确做错了，看我做的对不对。
1/(a²(b+c))+1/(b²(a+c))+1/(c²(a+b))
=[1/(a²(b+c))+1/(b²(a+c))+1/(c²(a+b))](abc)²
=(b²c²)/(b+c)+(a²c²)/(a+c)+(a²b²)/(a+b)
>=(bc+ac+ab)²/[2(a+b+c)]
这里是用了一个重要的不等式，其实是柯西不等式的一个变形,下面有讲解
=[a²b²+b²c²+a²c²+2(a²bc+ab²c+abc²)]/[2(a+b+c)]
因为a²b²+b²c²+a²c²
=(1/2)(2a²b²+2b²c²+2a²c²)
=(1/2)(a²b²+b²c²+a²c²+a²b²+b²c²+a²c²)
=(1/2)[b²(a²+c²)+a²(c²+b²)+c²(b²+a²)]
利用均值不等式
>=(1/2)[b²(2ac)+a²(2bc)+c²(2ab)]
=ab²c+a²bc+abc²
=a+b+c
所以[a²b²+b²c²+a²c²+2(a²bc+ab²c+abc²)]/(a+b+c)
>=[a+b+c+2(a+b+c)]/[2(a+b+c)]
=3(a+b+c)/[2(a+b+c)]
=3/2
证毕
柯西不等式
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)>=(ax+by+cz)²
变形为
[(a²/x)+(b²/y)+(c²/z)](x+y+z)>=(a²+b²+c²)²
两边除以(x+y+z),即
(a²/x)+(b²/y)+(c²/z)>=(a²+b²+c²)²/(x+y+z)
上面有一关键步就是利用这个不等式证明的