Question

已知函数f（x）=x3-3x2-9x+1（1）求函数在区间[-4，4]上的单调性...

已知函数f（x）=x3-3x2-9x+1 （1）求函数在区间[-4，4]上的单调性． （2）求函数在区间[-4，4]上的极大值和极小值与最大值和最小值．

Answer 1

（1）求导函数，利用导数的正负，结合函数的定义域，即可得到函数的单调性；
（2）利用（1）的单调性，可得函数的极大值和极小值，再与端点函数值比较，即可求函数的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=x3-3x2-9x+1，∴f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，结合-4≤x≤4，得-4≤x＜-1或3＜x≤4．
令f′（x）＜0，结合-4≤x≤4，得-1＜x＜3．
∴函数f（x）在[-4，-1）和（3，4]上为增函数，在（-1，3）上为减函数．
（2）由（1）得函数f（x）在x=-1时取得极大值，即f（-1）=6，在x=3时取得极小值，f（3）=-26
而f（-4）=-75，f（4）=-19
所以最大值为6，最小值为-75
（1）求导函数，利用导数的正负，结合函数的定义域，即可得到函数的单调性；
（2）利用（1）的单调性，可得函数的极大值和极小值，再与端点函数值比较，即可求函数的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=x3-3x2-9x+1，∴f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，结合-4≤x≤4，得-4≤x＜-1或3＜x≤4．
令f′（x）＜0，结合-4≤x≤4，得-1＜x＜3．
∴函数f（x）在[-4，-1）和（3，4]上为增函数，在（-1，3）上为减函数．
（2）由（1）得函数f（x）在x=-1时取得极大值，即f（-1）=6，在x=3时取得极小值，f（3）=-26
而f（-4）=-75，f（4）=-19
所以最大值为6，最小值为-75