Question

a+b+c基本不等式

不等式a+b+c最小值
√(abc)的公式是什么呢?
√(ab)≤(a+b)/2 (a≥0,b≥0)

Answer 1

对于非负实数 a、b 和 c，我们有基本不等式：a + b + c ≥ 3√(abc)。这个不等式被称为“均值不等式”。
此外，当 abc > 0 时，a + b + c 的最小值是 3√(abc)。当 a、b 和 c 相等时，等号成立。
对于 √(ab) ≤ (a + b)/2，当 a ≥ 0 和 b ≥ 0 时成立。这个不等式被称为“均值不等式”的特例之一，也可以称为算术-几何平均不等式。
以下是一个例子：
假设 a = 2，b = 3。我们可以计算：
√(ab) = √(2 × 3) = √6 ≈ 2.45
(a + b)/2 = (2 + 3)/2 = 2.5
根据不等式 √(ab) ≤ (a + b)/2，我们可以验证 2.45 ≤ 2.5，因此这个不等式在这个例子中成立。

Answer 2

①知识点定义来源&讲解：
a+b+c基本不等式又称柯西不等式，是初中数学中的一个重要的不等式。它指出任意两个数之间的平方和大于等于这两个数分别平方之和的和，即 (a^2 + b^2 + c^2) ≥ (ab + ac + bc)。

②知识点运用：
a+b+c基本不等式在初中数学中经常用于解决数列相关的问题，常见于不等式证明、最值问题、三角形的解析问题等方面。

③知识点例题讲解：
用a+b+c基本不等式证明(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc：
首先将(a+b)(b+c)(c+a)展开得到 ab^2+bc^2+ca^2+2abc+a^2b+b^2c+c^2a+abc，然后将其化简为 ab(b+c)+bc(c+a)+ca(a+b)+2abc+a^2b+b^2c+c^2a，使用a+b+c基本不等式可得：(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) ≥ 2(ab+bc+ca)，再将其代入原式，得到 (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc，证毕。

Answer 3

这是三元均值不等式
a≥0,b≥0,c≥0, (a+b+c)/3≥abc开三次方（当且仅当a=b=c取等号）.

Answer 4

利用三角不等式，
将 abc 拆分为√(abc) * √(abc) * 1，
然后利用平均均值不等式
可以得到
a + b + c ≥ 3√(abc)，
当且仅当 a = b = c 时取等号，
所以 a + b + c 最小值为 3√(abc)，
即最小值为 3√(abc)。

Answer 5

a+b+c的基本不等式是a+b+c≥3√(abc)，也称为均值不等式。这个不等式的意思是，对于任意非负实数a、b、c，它们的和一定大于或等于它们的几何平均值的三倍。