Question

反双曲正弦函数的导数

高数：反双曲正弦 求导哪儿错了?
双曲正弦shx的导数为chx；2.双曲正弦又是单调可导；则根据反函数与原函数之间的导数关系：(arshx)'=1/(shx)'=1/chx,但是按照复合函数方法求得(arshx)'=1/√(1+x^2)

Answer 1

双曲正弦sh x=[e^x - e^(-x)]/2
双曲余弦ch x=[e^x + e^(-x)]/2
没错,显然sh x对x求导就得到ch x
但是要注意,反函数求导之后要交换x和y的,
即反函数求导得到,
(arcshx)'=1/(shy)'=1/chy= 2/[e^y + e^(-y)]
而e^y=x+√(x^2+1),e^(-y)=1/e^y=1/[x+√(x^2+1)]=√(x^2+1) -x
所以
e^y + e^(-y)=2√(x^2+1)
即
(arcshx)'=2/[e^y + e^(-y)] =1/√(x^2+1)
再按照复合函数方法
反双曲正弦y=ln|x+√(1+x^2)|
显然
y'=[1+x/√(1+x^2)] / [x+√(1+x^2)]
=1/√(1+x^2)
很显然这两个方法求导得到的答案就是一样的,有什么不明白再追问我啊