Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=...

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=35c． （Ⅰ）求tanAtanB的值； （Ⅱ）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）在△ABC中，acosB-bcosA=35c，
由正弦定理得
sinAcosB-sinBcosA=35sinC=35sin(A+B)=35sinAcosB+35cosAsinB
即sinAcosB=4cosAsinB，
则tanAtanB=4；
（Ⅱ）由tanAtanB=4得
tanA=4tanB＞0
tan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB=3tanB1+4tan2B=3cotB+4tanB≤32√cotB•4tanB=34
当且仅当4tanB=cotB，tanB=12，tanA=2时，等号成立，
故当tanA=2，tanB=12时，
tan（A-B）的最大值为34．