Question

求证：a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3，急求！！！！！！！！！！！

最好不要用高中的知识....我是初中生

Answer 1

因为a²+b²-2ab≥0
同理b²+c²-2bc≥0,a²+c²-2ac≥0
所以2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0
所以2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac
所以3a²+3b²+3c²≥2ab+2bc+2ac+a²+b²+c²[（a+b+c）²=2ab+2bc+2ac+a²+b²+c²这段括号里的内容只是给你解释，不用写这段]
所以3a²+3b²+3c²≥（a+b+c）²
所以a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3

Answer 2

3a²+3b²+3c²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c请采纳回答

Answer 3

解：
学过平均值不等式吗？
a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3等价于
3(a²+b²+c²)≥（a+b+c）²
把右边展开，则等价于
3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
即
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ca
根据平均值不等式
a²+b²
≥
2ab
b²+c²
≥
2bc
c²+a²
≥
2ca
三式相加即证。