Question

(a^n-b^n)n^-1求极限

Answer 1

我们可以使用极限的基本性质来求解这个极限：
(a^n - b^n) / n = (a^n/n - b^n/n) / (n^-1)
当n趋近于无穷大时，右边的分子是一个形如1^∞的不定式，我们可以使用L'Hôpital法则将其化简。对于形如1^∞的不定式，我们可以取其自然对数，即：
ln[(a^n/n - b^n/n) / (n^-1)] = ln[a^n/n - b^n/n] - ln[n^-1]
然后我们对其求导：
[d/dn] ln[a^n/n - b^n/n] = (a^n/n - b^n/n) * (ln a - ln n)
[d/dn] ln[n^-1] = -n^-2
根据L'Hôpital法则，我们可以对原式取极限，即：
lim [(a^n - b^n) / n] = lim [(a^n/n - b^n/n) / (n^-1)]
= lim [ln(a^n/n - b^n/n) - ln(n^-1)]
= lim [(a^n/n - b^n/n) * (ln a - ln n) + n^-2]
= lim [(a^n/n - b^n/n) * ln a] （因为 n^-2 的极限是 0）
最后一步的化简需要利用极限的性质，即当一个数的绝对值小于1时，它的n次幂当n趋近于无穷大时会趋近于0，而a和b都是大于1的正实数，所以ln a的值是一个有限的常数。
因此，我们得到了这个极限的值：
lim [(a^n - b^n) / n] = lim [(a^n/n - b^n/n) * ln a] = ln a * (a - b)
所以，当n趋近于无穷大时，(a^n - b^n) / n的极限为ln a * (a - b)。