Question

高中数学20题和21

向左转|向右转

Answer 1

20、解：（1）画图易知，点（0,1）为其中一个交点。由于6个交点恰好把单位圆O六等分，所以点（0,1）与其相邻的点的连线与y轴正向夹角为60°，那么椭圆四个顶点构成的四边形（菱形），其最右边的顶点坐标为(√3,0),代入椭圆方程得
3/a²+0²=1
解得a=√3
故椭圆M的方程为x²/3+y²=1
（2）设切点坐标为(cosθ,sinθ)，0≤θ<2π。
则该切线与x轴正向的夹角为θ+π/2，于是斜率为
tan(θ+π/2)=-cotθ
切线方程为y=-cotθ*(x-cosθ)+sinθ
将此方程代入椭圆M的方程，化简得
(1+3cot²θ)x²-6cosθcsc²θ*x+3cos²θcsc²θ=0
设x1、x2为其两个根，则由韦达定理得
x1+x2=6cosθcsc²θ/(1+3cot²θ)=6cosθ/(1+2cos²θ)
x1x2=3cos²θcsc²θ/(1+3cot²θ)=3cos²θ/(1+2cos²θ)
于是|PQ|=√[1+(-cotθ)²]*|x1-x2|
=|cscθ|*√{[6cosθ/(1+2cos²θ)]²-4*3cos²θ/(1+2cos²θ)]
...展开20、解：（1）画图易知，点（0,1）为其中一个交点。由于6个交点恰好把单位圆O六等分，所以点（0,1）与其相邻的点的连线与y轴正向夹角为60°，那么椭圆四个顶点构成的四边形（菱形），其最右边的顶点坐标为(√3,0),代入椭圆方程得
3/a²+0²=1
解得a=√3
故椭圆M的方程为x²/3+y²=1
（2）设切点坐标为(cosθ,sinθ)，0≤θ<2π。
则该切线与x轴正向的夹角为θ+π/2，于是斜率为
tan(θ+π/2)=-cotθ
切线方程为y=-cotθ*(x-cosθ)+sinθ
将此方程代入椭圆M的方程，化简得
(1+3cot²θ)x²-6cosθcsc²θ*x+3cos²θcsc²θ=0
设x1、x2为其两个根，则由韦达定理得
x1+x2=6cosθcsc²θ/(1+3cot²θ)=6cosθ/(1+2cos²θ)
x1x2=3cos²θcsc²θ/(1+3cot²θ)=3cos²θ/(1+2cos²θ)
于是|PQ|=√[1+(-cotθ)²]*|x1-x2|
=|cscθ|*√{[6cosθ/(1+2cos²θ)]²-4*3cos²θ/(1+2cos²θ)]
=2√6*|cosθ|/(1+2cos²θ)=2√6/|2cosθ+1/cosθ|
而|2cosθ+1/cosθ|≥2√(2cosθ*1/cosθ)=2√2
当且仅当2cosθ=1/cosθ，也即当且仅当θ=π/4，3π/4，5π/4或7π/4时取等号。
此时|PQ|有最大值2√6/(2√2)=√3
还必须考虑到θ≠0且θ≠π，否则斜率无意义。分别计算θ=0且θ=π时的情况，均得|PQ|=2√(2/3)=√(8/3)<√3，不是最大值。
所以最大值为√3。
21、解：（1）f(x)=lnx+a/x-1
定义域x>0
若a>0，当0<x≤a时f'(x)≤0；当x>a时f'(x)>0。故当且仅当x=a时f(x)取最小值。则有
0=f(a)=lna+a/a-1=lna
解得a=1
若a=0，f'(x)=1/x>0，y=f(x)为严格单增函数。最小值应为f(+0)，但
lim
xlnx=lim
(lnx)/(1/x)=lim
(1/x)/(-1/x²)=0
x->+0
x->+0
x->+0
lim
(lnx+a/x-1)=lim
[(xlnx+a)/x-1]=lim
(a/x-1)<0
x->+0
x->+0
x->+0
与最小值为0矛盾。
若a<0，f'(x)=(x-a)/x²>0，y=f(x)为严格单减函数。最小值应为f(+∞)
但
lim
(lnx+a/x-1)=+∞
x->+∞
与最小值为0矛盾。
所以当且仅当a=1时，f(x)的最小值为0
（2）证明：因a=1时，f(x)=lnx+1/x-1≥0
故x>0时，有lnx-1≥-1/x
设g(x)=e^x+(lnx-1)sinx，x>0
当lnx-1>0时，也即x>e时，g(x)=e^x+(lnx-1)sinx≥e^x-(lnx-1)=h(x)
h(e)=e^e-(lne-1)=e^e>0
h'(x)=e^x-1/x>e^e-1/e>0
h(x)严格单增
故x>e时，g(x)≥h(x)>h(e)>0
当lnx-1≤0，也即0<x≤e时，因0<x≤e<π，故sinx>0，则
g(x)=e^x+(lnx-1)sinx≥e^x+(-1/x)*sinx=e^x-(sinx)/x
考虑函数φ(x)=sinx/x,0<x<1
显然φ(+0)=1,φ‘(x)=(xcosx-sinx)/x²
其分子为z(x)=xcosx-sinx,z(+0)=0
z'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0
故分子z(x)单调递减，故z(x)<z(+0)=0
故φ‘(x)=(xcosx-sinx)/x²<0
φ(x)=sinx/x严格单调递减。
故φ(x)<φ(+0)=1
故g(x)≥e^x-(sinx)/x>e^0-1=0
综上知，对任意的x>0，均有g(x)>0成立，也即e^x+(lnx-1)sinx>0得证。收起