Question

一道高数题，如图6题，请问这个题可不可以用二重积分中值定理证明？

如果可以，麻烦写一下过程，如果不可以，请说一下理由，谢谢啦

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Answer 1

用两次罗必塔法则即可得， 不必用积分中值定理。

若用， 理论上也可以的。

追问

嗯嗯，你这个答案就是书上的答案

追答

用中值定理时， 因函数 f 不是具体函数，很难寻求 f(ξ , η) 与 t 的关系

追问

我这样解，为啥错了

追答

因 t = √(ξ^2+η^2) 不一定成立

追问

好吧，谢谢了

Answer 2

积分中值定理并没有给出具体的值，只是给出了存在性。所以本题不建议用二重积分中值定理做。
考虑到被积分函数形式里有x^2+y^2.考虑用极坐标形式来做会比较方便！
=lim$ （0，2pi）$(0,t )f(r)*rdrdθ
因为属于0/0的形式，再使用洛必达法则

追问

哦哦，是这样啊，意思就是如果被积式具体，可以用二重积分中值定理，如果不具体不建议用，是这样吗

请问我这样解，为啥错了

追答

首先，分子上的两个变量f()里的内容是与t有关的，你直接让他带入等于0.这是不正确的。

其次，洛必达法则应该是上下都是变量。上面是常数f(0）.下面是变量t. 上面常数求导为0。而不是f’(0).

追问

好滴，谢谢