Question

求微分方程y‘’+2y=1满足初始条件y(0)=1,y'(0)=0的解

Answer 1

求微分方程y''+2y=1满足初始条件y(0)=1,
y'(0)=0的特解
解：齐次方程y''+2y=0的特征方程
r²+2=0的根：r₁=(√2)i；r₂=-(√2)i；
故齐次方程的通解为：y=C₁cos(√2)x+C₂sin(√2)x.
设原方程的一个特解为：y*=ax+b；y*'=a;
y*''=0.
代入原方程得2(ax+b)=1,
故a=0;
2b=1,
即b=1/2;
于是得
y*=1/2;
故原方程的通解为：y=C₁cos(√2)x+C₂sin(√2)x+1/2
代入初始条件
y(0)=1，得
C₁+1/2=1,
故C₁=1/2；
y'=-(√2/2)sin2x+2C₂cos2x
y'(0)=2C₂=0，故C₂=0
于是得满足初始条件的特解为：y=(1/2)cos(√2)x+1/2