Question

设z1、z2是实系数方程z2+tz+t+3=0（t∈R）的两个虚数根，复数α满足...

设z1、z2是实系数方程z2+tz+t+3=0（t∈R）的两个虚数根，复数α满足αz1+z2=0． （1）求复数α的模|α|； （2）求证：α+1α为实数，并求α+1α的取值范围．

Answer 1

解：（1）复数α满足αz1+z2=0，
可得：αz1=-z2，
|αz1|=|-z2|．
即|α||z1|=|-z2|．
因为z1、z2是实系数方程z2+tz+t+3=0（t∈R）的两个虚数根，所以|z1|=|z2|．
所以|α|=1．
（2）z1、z2是实系数方程z2+tz+t+3=0（t∈R）的两个虚数根，
∴z1+z2=-t，z1z2=t+3，
又αz1+z2=0，可得α=-z2z1，
∴α+1α=-z2z1-z1z2=-z22+z12z1z2=-(z2+z1)2-4z1z2z1z2=-t2-4t-12t+3∈R．
由题意可知：△=t2-4t-12＜0．
可得：-2＜t＜6，t+3∈（1，9）
α+1α=-t2-4t-12t+3=-[（t+3）+1t+3-10]，令t+3=x，
∴α+1α=-（x+1x-10），因为f（x）=x+1x在x∈（1，9）上是增函数，
可得：f（x）∈（2，829）
∴α+1α∈（89，8）．