Question

高数入门求解

Answer 1

学习高等数学要有一种精神，用大数学家华罗庚的话来说，就是要有“学 思 锲而不舍”的精神。由于高等数学自身的特点，不可能老师一教，学生就全部领会掌握。一些内容如函数的连续与间断，积分的换元法，分步积分法等一时很难掌握，这需要每个同学反复琢磨，反复思考，反复训练，锲而不舍。通过正反例子比较，从中悟出一些道理，才能从不懂到一知半解到基本掌握。这里仅结合一般学习方法，谈一点学习高等数学的做法，一供参考。
第一，“学 思 习”是学习高等数学大的模式。所谓学，包括学和问两方面，即向教师，向同学，向自己学和问。惟有在学中问和问中学，才能消化数学的概念、理论、方法。所谓思，就是将所学内容，经过思考加工去粗取精，抓本质和精华。华罗庚“抓住要点”使“书本变薄”的这种勤于思考，善于思考，从厚到薄的学习数学的方法，值得我们借鉴。所谓习，就高等数学而言，就是做练习。这一点数学有自身的特点，练习一般分为两类，一是基础训练练习，经常附在每章每节之后。这类问题相对来说比较简单，无大难度，但很重要，是打基础部分。知识面广些不局限于本章本节，在解决的方法上要用到多种数学工具。数学的练习是消化巩固知识极重要的一个环节，舍此达不到目的。
第二，狠抓基础，循序渐进。任何学科，基础内容常常是最重要的部分，它关系到学习的成败与否。高等数学本身就是数学和其他学科的基础，而高等数学又有一些重要的基础内容，它关系着全局。以微积分部分为例，极限贯穿着整个微积分，函数的连续性及性质贯穿着后面一系列定理结论，初等函数求导法及积分法关系到今后各个学科。因此，一开始就要下狠功夫，牢牢掌握这些基础内容。在学习高等数学时要一步一个脚印，扎扎实实地学和练，成功的大门一定会向你开放。
第三，归类小结，从厚到薄。记忆总的原则是抓纲，在用中记。归类小结是一个重要方法。高等数学归类方法可按内容和方法两部分小结，以代表性问题为例辅以说明。在归类小节时，要特别注意由基础内容派生出来的一些结论，即所谓一些中间结果，这些结果常常在一些典型例题和习题上出现，如果你能多掌握一些中间结果，则解决一般问题和综合训练题就会感到轻松。
第四，精读一本参考书。实践证明，在教师指导下，抓准一本参考书，精读到底，如果你能熟读了一本有代表性的参考书，再看其他参考书就会迎刃而解了。
第五，注意学习效率。数学的方法和理论的掌握，就实践经验表明常常需要频率大于4否则做不到熟能生巧，触类旁通。人不可能通过一次学习就掌握所学的知识，需要有几个反复。所谓“学而时习之”“ 温故而知新”都有是指学习要经过反复多次。高等数学的记忆，必建立在理解和熟练做题的基础上，死记硬背无济于事。
在科学的道路上是没有平坦大道的，可是“科学有险阻，苦战能过关”。“人生能有几回搏？”“人生总能搏几回！”每个大学生应当而且能够与高等数学“搏一搏”！

Answer 2

(4)

lim(x->1) (x^n-1)/(x-1)

=lim(x->1) [x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]

=1+1+...+1

=n

(2)

f(x) =xlim(n->∞) [1-x^(2n)]/[1+x^(2n) ]

case 1: x<-1

f(x) 

=xlim(n->∞) [1-x^(2n)]/[1+x^(2n) ]

=xlim(n->∞) [1/x^(2n)-1)]/[1/x^(2n)+1 ]

=x(0-1)/(0+1)

=-x

case 2: x=-1

f(x) =xlim(n->∞) [1-x^(2n)]/[1+x^(2n) ]

f(-1) = x( 1-1)/(1+1) =0

case 3: -1<x<1

f(x) 

=xlim(n->∞) [1-x^(2n)]/[1+x^(2n) ]

=x(1-0)/(1+0)

=x

case 4: x=1

f(x) =xlim(n->∞) [1-x^(2n)]/[1+x^(2n) ]

f(1) = x( 1-1)/(1+1) =0

case 5 : x>1

f(x)

=xlim(n->∞) [1-x^(2n)]/[1+x^(2n) ]

=xlim(n->∞) [1/x^(2n)-1)]/[1/x^(2n)+1 ]

=x(0-1)/(0+1)

=-x