Question

矩阵的平方等于0，那么该矩阵等于0吗

Answer 1

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵，且A的平方等于0，证明A=0
设A=[aij]，其中i，j=1，2，。。。，n
令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则，C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对应相乘再相加所得。其中i=1，2，。。。，n
cii=ai1*ai1+ai2*ai2+...+ain*ain
=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
(因为A对称，所以第i行元素和第j列元素是对应相等的)
而cii=0
(C为零矩阵，其中每一个元素当然也是零)
所以
0=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
而A是实矩阵，其元素均为实数，
所以aij=0
(j=1,2,...,n)，即A中每一个元素均为数字零