Question

证明题 设f(x)为连续函数,F(t)=∫(1~t)dy∫(y~t)f(x)dx...

证明题 设f(x)为连续函数,F(t)=∫(1~t)dy∫(y~t)f(x)dx 1.证明：F(t)=∫（1~t）(x-1)f(x)dx 2.求F(2)的导数

Answer 1

①：
F(t)
=
∫(1→t)
dy
∫(y→t)
ƒ(x)
dx
交换积分次序：从Y型区域变为X型区域
y∈[1,t]
==>
y∈[1,x]
x∈[y,t]
==>
x∈[1,t]
F(t)
=
∫(1→t)
dx
∫(1→x)
ƒ(x)
dy
=
∫(1→t)
(x
-
1)ƒ(x)
dx
②：
F(t)
=
∫(1→t)
(x
-
1)ƒ(x)
dx,由上面的结果
F'(t)
=
(t
-
1)ƒ(t)
F'(2)
=
(2
-
1)ƒ(2)
=
ƒ(2)